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三维网格细分算法(Catmull-Clark subdivision & Loop subdi

来源:互联网 作者:佚名 时间:2017-09-09 17:42
下图描述了细分的基本思想,每次细分都是在每条边上插入一个新的顶点,可以看到随着细分次数的增加,折线逐渐变成一条光滑的曲线。曲面细分需要有几何规则和拓扑规则,几何规则用于计算新顶点的位置,拓扑规则用于确定新顶点的连接关系。下面介绍两种网格细

  下图描述了细分的基本思想,每次细分都是在每条边上插入一个新的顶点,可以看到随着细分次数的增加,折线逐渐变成一条光滑的曲线。曲面细分需要有几何规则和拓扑规则,几何规则用于计算新顶点的位置,拓扑规则用于确定新顶点的连接关系。下面介绍两种网格细分方法:Catmull-Clark细分和Loop细分。

 

Catmull-Clark subdivision

  Catmull-Clark细分是一种四边形网格的细分法则,每个面计算生成一个新的顶点,每条边计算生成一个新的顶点,同时每个原始顶点更新位置。下图为Catmull-Clark细分格式的细分掩膜,对于新增加的顶点位置以及原始顶点位置更新规则如下:

1.网格内部F-顶点位置:

  设四边形的四个顶点为v0、v1、v2、v3,则新增加的顶点位置为v = 1/4*(v0 + v1 + v2 + v3)。

2.网格内部V-顶点位置:

  设内部顶点v0的相邻点为v1、v2,…,v2n,则该顶点更新后位置为,其中α、β、γ分别为α = 1 - β - γ。

3.网格边界V-顶点位置:

  设边界顶点v0的两个相邻点为v1、v2,则该顶点更新后位置为v = 3/4*v0 + 1/8*(v1 + v2)。

4.网格内部E-顶点位置:

  设内部边的两个端点为v0、v1,与该边相邻的两个四边形顶点分别为v0、v1、v2、v3和v0、v1、v4、v5,则新增加的顶点位置为v = 1/4*(v0 + v1 + vf1 + vf2) = 3/8*(v0 + v1) + 1/16*(v2 + v3 + v4 + v5)。

5.网格边界E-顶点位置:

  设边界边的两个端点为v0、v1,则新增加的顶点位置为v = 1/2*(v0 + v1)。

效果:

function [VV, FF, S] = CC_subdivision(V, F, iter)
    % Catmull_Clark subdivision
    if ~exist('iter','var')
        iter = 1;
    end
    VV = V;
    FF = F;
    
    for i = 1:iter
        nv = size(VV,1);
        nf = size(FF,1);
        
        O = outline(FF);
        
        original = 1:nv;
        boundary = O(:,1)';
        interior = original(~ismember(original, boundary));
        
        no = length(original);
        nb = length(boundary);
        ni = length(interior);

        %% Sv
        Etmp = sort([FF(:,1) FF(:,2);FF(:,2) FF(:,3);FF(:,3) FF(:,4);FF(:,4) FF(:,1)],2);
        [E, ~, idx] = unique(Etmp, 'rows');
        
        Aeven = sparse([E(:,1) E(:,2)], [E(:,2) E(:,1)], 1, no, no);
        Aodd = sparse([FF(:,1) FF(:,2)], [FF(:,3) FF(:,4)], 1, no, no);
        Aodd = Aodd + Aodd';
        
        val_even = sum(Aeven,2);
        beta = 3./(2*val_even);
        
        val_odd = sum(Aodd,2);
        gamma = 1./(4*val_odd);
        
        alpha = 1 - beta - gamma;
        
        Sv = sparse(no,no);
        Sv(interior,:) = ...
            sparse(1:ni, interior, alpha(interior), ni, no) + ...
            bsxfun(@times, Aeven(interior,:), beta(interior)./val_even(interior)) + ...
            bsxfun(@times, Aodd(interior,:), gamma(interior)./val_odd(interior));
        Sboundary = ...
            sparse([O(:,1);O(:,2)],[O(:,2);O(:,1)],1/8,no,no) + ...
            sparse([O(:,1);O(:,2)],[O(:,1);O(:,2)],3/8,no,no);
        Sv(boundary,:) = Sboundary(boundary,:);
        
        %% Sf
        Sf = 1/4 .* sparse(repmat((1:nf)',1 ,4), FF, 1);
        i0 = no + (1:nf)';
        
        %% Se
        flaps = sparse([idx;idx], ...
                       [FF(:,3) FF(:,4);FF(:,4) FF(:,1);FF(:,1) FF(:,2);FF(:,2) FF(:,3)], ...
                       1);
        onboundary = (sum(flaps,2) == 2);
        flaps(onboundary,:) = 0;
        
        ne = size(E,1);
        Se = sparse( ...
                [1:ne 1:ne]', ...
                [E(:,1); E(:,2)], ...
                [onboundary;onboundary].*1/2 + ~[onboundary;onboundary].*3/8, ...
                ne, ...
                no) + ...
                flaps*1/16;
        
        %% new faces & new vertices
        i1 = no +   nf + (1:nf)';
        i2 = no + 2*nf + (1:nf)';
        i3 = no + 3*nf + (1:nf)';
        i4 = no + 4*nf + (1:nf)';
        
        FFtmp = [i0 i4 FF(:,1) i1; ...
                 i0 i1 FF(:,2) i2; ...
                 i0 i2 FF(:,3) i3; ...
                 i0 i3 FF(:,4) i4];

        reidx = [(1:no)'; no+(1:nf)'; no+nf+idx];
        FF = reidx(FFtmp);
        
        S = [Sv; Sf; Se];
        VV = S*VV;
    end
 end
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Loop subdivision

  Loop细分是一种三角形网格的细分法则,它按照1-4三角形分裂,每条边计算生成一个新的顶点,同时每个原始顶点更新位置。下图为Loop细分格式的细分掩膜,对于新增加的顶点位置以及原始顶点位置更新规则如下:

1.网格内部V-顶点位置:

  设内部顶点v0的相邻点为v1、v2,…,vn,则该顶点更新后位置为,其中

2.网格边界V-顶点位置:

  设边界顶点v0的两个相邻点为v1、v2,则该顶点更新后位置为v = 3/4*v0 + 1/8*(v1 + v2)。

3.网格内部E-顶点位置:

  设内部边的两个端点为v0、v1,相对的两个顶点为v2、v3,则新增加的顶点位置为v = 3/8*(v0 + v1) + 1/8*(v2 + v3)。

4.网格边界E-顶点位置:

  设边界边的两个端点为v0、v1,则新增加的顶点位置为v = 1/2*(v0 + v1)。

效果:

 

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