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100个动规方程

来源:互联网 作者:佚名 时间:2015-08-11 09:11
100个动规方程 1.资源问题1 -----机器分配问题 F[I,j]:=max(f[i-1,k]w[i,j-k]) 2.资源问题2 ------01背包问题 F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]w,f[i-1,j]); 3.线性动态规划1 -----朴素最长非降子序列 F:=max{f[j]1} 4.剖分问题1 -----石子合并 F[i,j]:=min(f[i,k]f[k

100个动规方程

 

1.       资源问题1

-----机器分配问题

F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

 

2.       资源问题2

------01背包问题

F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);

 

3.       线性动态规划1

-----朴素最长非降子序列

F:=max{f[j]+1}

 

4.       剖分问题1

-----石子合并

F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);

 

5.        剖分问题2

-----多边形剖分

F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);

 

6.       剖分问题3

------乘积最大

f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);

 

7.       资源问题3

         -----系统可靠性(完全背包)

F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}

 

8.       贪心的动态规划1

-----快餐问题

F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2)div p3} 

 

9.       贪心的动态规划2

-----过河 f=min{{f(i-k)} (not stone)

                      {f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态

 

10.       剖分问题4

-----多边形-讨论的动态规划

F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];

                   负负 g[I,k]*f[k+1,j];

            正负 g[I,k]*f[k+1,j];

              负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min

 

11.       树型动态规划1

-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)

       F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}

 

12.       树型动态规划2

-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)

       F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分

        f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}

 

13.       计数问题1

-----砝码称重

f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];

(1<=i<=n; 1<=j<=f[0];1<=k<=a;)

 

14.       递推天地1

------核电站问题

f[-1]:=1; f[0]:=1;                      

f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]       

 

15.       递推天地2

------数的划分

f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];

 

16.       最大子矩阵1

-----一最大01子矩阵

f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;  

ans:=maxvalue(f);                          

 

17.       判定性问题1

-----能否被4整除

g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false;g[1,3]:=false;

g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)

 

18.       判定性问题2

-----能否被k整除

f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j];      -k<=j<=k; 1<=i<=n

 

20.       线型动态规划2

-----方块消除游戏

f[i,i-1,0]:=0

f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),

              f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}

ans:=f[1,m,0]

 

21.       线型动态规划3

-----最长公共子串,LCS问题

f[i,j]={0(i=0)&(j=0);

       f[i-1,j-1]+1       (i>0,j>0,x=y[j]);

       max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);

 

22.       最大子矩阵2

-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)

枚举行的起始,压缩进数列,求最大字段和,遇0则清零

 

23.            资源问题4

-----装箱问题(判定性01背包)

f[j]:=(f[j] or f[j-v]);

 

 

24.       数字三角形1

-----朴素の数字三角形

f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);

 

25.       数字三角形2

-----晴天小猪历险记之Hill

同一阶段上暴力动态规划

               if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

 

26.       双向动态规划1

数字三角形3

-----小胖办证

f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

 

27. 数字三角形4

-----过河卒

//边界初始化

f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];

 

28.       数字三角形5

-----朴素的打砖块

f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);

 

29.       数字三角形6

-----优化的打砖块

f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

 

30.       线性动态规划3

-----打鼹鼠’

f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

 

31.       树形动态规划3

-----贪吃的九头龙

 

 

32.       状态压缩动态规划1

-----炮兵阵地

Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])

If (map and plan[k]=0) and

               ((plan[P] or plan[q]) andplan[k]=0)

 

33.       递推天地3

-----情书抄写员

f:=f[i-1]+k*f[i-2]

 

34.       递推天地4

-----错位排列

f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);

f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);

 

35.       递推天地5

-----直线分平面最大区域数

f[n]:=f[n-1]+n

   :=n*(n+1) div 2 + 1;

 

36.       递推天地6

-----折线分平面最大区域数

f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;

 

37.       递推天地7

-----封闭曲线分平面最大区域数

f[n]:=f[n-1]+2*(n-1)

   :=sqr(n)-n+2;

38       递推天地8

-----凸多边形分三角形方法数

f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;

对于k边形

f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)

 

39       递推天地9

-----Catalan数列一般形式

1,1,2,5,14,42,132

f[n]:=C(2k,k) div (k+1);

 

40       递推天地10

-----彩灯布置

排列组合中的环形染色问题

f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1);   (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);

 

41       线性动态规划4

-----找数

线性扫描

sum:=f+g[j];

    (if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)

 

42       线性动态规划5

-----隐形的翅膀

            min:=min{abs(w/w[j]-gold)};

            if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);

 

43       剖分问题5

-----最大奖励

f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t

 

44       最短路1

-----Floyd

f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);

ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];

45       剖分问题6

-----小H的小屋

F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);

 

46       计数问题2

-----陨石的秘密(排列组合中的计数问题)

Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];

F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);

 

47       线性动态规划

------合唱队形

两次F:=max{f[j]+1}+枚举中央结点

 

48       资源问题

------明明的预算方案:加花的动态规划

f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);

 

49       资源问题

-----化工场装箱员

 

50       树形动态规划

-----聚会的快乐

f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);

f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

 

 

51       树形动态规划

-----皇宫看守

f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);

f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

 

52       递推天地

-----盒子与球

f[i,1]:=1;

f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);

 

53       双重动态规划

-----有限的基因序列

f:=min{f[j]+1}

g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or(g[c,i,j])

 

54       最大子矩阵问题

-----居住空间

           f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),

                        min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),

                               min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),

                               f[i-1,j-1,k-1]))+1;

55       线性动态规划

------日程安排

f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)

 

56       递推天地

------组合数

C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]

C[I,0]:=1

 

57       树形动态规划

-----有向树k中值问题

F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

 

58       树形动态规划

-----CTSC 2001选课

F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)

 

59       线性动态规划

-----多重历史

f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

 

60       背包问题(+-1背包问题+回溯)

-----CEOI1998 Substract

f[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

 

61       线性动态规划(字符串)

-----NOI 2000 古城之谜

f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

 

62       线性动态规划

-----最少单词个数

f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

 

63       线型动态规划

-----APIO2007 数据备份

状态压缩+剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划

f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);

64       树形动态规划

-----APIO2007 风铃

f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}

g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])

g[l]=g[r]=1 then Halt;

 

65       地图动态规划

-----NOI 2005 adv19910

F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];

 

66       地图动态规划

-----优化的NOI 2005 adv19910

F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1}j-b[k]<=p<=j;

 

67       目标动态规划

-----CEOI98 subtra

F[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

 

68       目标动态规划

----- Vijos 1037搭建双塔问题

F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] org[value,delta-a]

 

69       树形动态规划

-----有线电视网

f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])

          leaves>=p>=l, 1<=q<=p;

 

70       地图动态规划

-----vijos某题

F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);

 

71       最大子矩阵问题

-----最大字段和问题

f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]

 

72       最大子矩阵问题

-----最大子立方体问题

枚举一组边i的起始,压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]

枚举另外一组边的其实,做最大子矩阵

 

73       括号序列

-----线型动态规划

f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),

f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] ,f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )

 

74       棋盘切割

-----线型动态规划

f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],

f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]

min{}}

 

75       概率动态规划

-----聪聪和可可(NOI2005)

x:=p[p[i,j],j]

f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1

f[I,i]=0

f[x,j]=1

 

76       概率动态规划

-----血缘关系

F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2

f[I,i]=1

f[I,j]=0(I,j无相同基因)

 

77       线性动态规划

-----决斗

F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] ore[j,k]),i<k<j

 

78       线性动态规划

-----舞蹈家

F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

 

79       线性动态规划

-----积木游戏

F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])

 

80       树形动态规划(双次记录)

-----NOI2003 逃学的小孩

朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)

每个节点记录最大的两个值,并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候,只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是,就取次大,否则取最大值

 

81       树形动态规划(完全二叉树)

-----NOI2006 网络收费

F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中,有j个用户为A,在I的每个祖先u上,如果N[a]>N则标0否则标1,用二进制状态压缩进k中,在这种情况下的最小花费

F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and(s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

 

82       树形动态规划

-----IOI2005 河流

F:=max

 

83       记忆化搜索

-----Vijos某题,忘了

F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)}(pre<=i<=M+1)

 

84       状态压缩动态规划

-----APIO 2007 动物园

f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] +NewAddVal

 

85       树形动态规划

-----访问术馆

f[i,j-c×2]:= max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

 

86       字符串动态规划

-----Ural 1002 Phone

if exist(copy(s,j,i-j)) then f:=min(f,f[j]+1);

 

87       多进程动态规划

-----CEOI 2005 service

Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )

Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )

Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

 

88       多进程动态规划

-----Vijos1143 三取方格数

max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);

if (j=k) and (k=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else

if (j=k) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else

if (k=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

if (j=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);

 

89       线型动态规划

-----IOI 2000 邮局问题

f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);

 

90       线型动态规划

-----Vijos 1198 最佳课题选择

if j-k>=0 thenMin(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));

91       背包问题

----- USACO Raucous Rockers

多个背包,不可以重复放物品,但放物品的顺序有限制。

          F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包,此背包花费了k的空间。

f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

 

92       多进程动态规划

-----巡游加拿大(IOI95、USACO)

d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] &j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。

 

f[i,j]表示从起点出发,一个人到达i,另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i],所以我们限制i>j

分析状态(i,j),它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到(方式1),也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到(方式2)。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到,因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径,那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到,所以不会遗漏解时间复杂度O(n3)

 

93       动态规划

-----ZOJ cheese

f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]

 

94       动态规划

-----NOI 2004 berry 线性

F[I,1]:=s

F[I,j]:=max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

 

95       动态规划

-----NOI 2004 berry 完全无向图

F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w) and (f[i-1,j-w])

 

96       动态规划

-----石子合并四边形不等式优化

m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j] 

 

97       动态规划

-----CEOI 2005 service

(k≥long,i≥1)g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1,g[i-1,j,k]}

(k<long,i≥1) g[i, j,k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1,g[i-1,j,k]}

(0≤j≤m, 0≤k<t) g[0,j,k]=0;

ans:=g[n,m,0]。

 

状态优化:g[i,j]=min{g[i-1,j],g[i-1,j-1]+long}

其中(a,b)+long=(a’, b’)的计算方法为:

当b+long ≤t时: a’=a;       b’=b+long;

当b+long >t时: a’=a+1;   b’=long;

规划的边界条件:

当0≤i≤n时,g[i,0]=(0,0)

 

98       动态规划

-----AHOI 2006宝库通道

f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1],x[k,j]-x[k,i-1]}

 

99       动态规划

-----Travel

A) 费用最少的旅行计划。

设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用;g表示从起点到第i个旅店住宿一天,在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么:

f=f[x]+v,   g=g[x]+1

x满足:

1、        x<i,且d – d[x] <= 800(一天的最大行程)。

2、        对于所有的t < i, d – d[t] <= 800,都必须满足:

A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]时)     B. f[x] < f[t] (其他情况)

f[0] = 0,g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1],g[n+1]。

 

B). 天数最少的旅行计划。

方法其实和第一问十分类似。

设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数;f’表示从起点到第i个旅店住宿一天,在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么:

g’ = g’[x] + 1,    f’ = f’[x] + v

x满足:

1、        x<i,且d – d[x] <= 800(一天的最大行程)。

2、        对于所有的t < i, d – d[t] <= 800,都必须满足:

f’[x] < f’[t]       g’[x] = g’[t]时

g’[x] < g’[t]        其他情况

f’[0] = 0,g’[0] = 0。 Ans:=f’[n + 1],g’[n+1]。

 

 

100       动态规划

-----NOI 2007 cash

y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);

g:=c[j]*y*a+y*b;

f:=max(f,g)

 

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